Question

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函數，在[0，2]上是減函數，且方程f（x）=0有三個根，它們分別為α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求證f（1）≥2；
（3）求|α-β|的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）在（-∞，0]上是增函數，在（0，2]上是減函數；
∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x²+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根為α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=-8-4b且b≤-3，
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x³-（α+β+2）•x²-2αβ
∴；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，∴|β-α|≥3
分析：（1）根據f（x）在（-∞，0]上是增函數，在（0，2]上是減函數；得到x=0是f'（x）=0的根，求導f'（x）=3x²+2bx+c，即可求得f'（0）=0，c=0；
（2）根據f（1）=1+b+d，f（2）=0，得到d=-8-4b且b≤-3，利用不等式的基本性質可證f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2；
（3）由f（x）=0有三根α，2，β；得到f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x³-（α+β+2）•x²-2αβ，因此；∴故|β-α|²=（α+β）²-4αβ=（b+2）²+2d=b²+4b+4-16-8b=b²-4b-12=（b-2）²-16，利用b≤-3，求得|β-α|≥3．
點評：本題考查函數單調性與導數之間的關系以及函數與方程的綜合應用，利用韋達定理求解|α-β|的取值范圍，體現了方程的思想，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，難度較大，綜合性強，屬難題．