Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）若它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而可得a，b的關(guān)系，即可求雙曲線C的漸近線方程；
（2）利用雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近的焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，建立方程，求出a，c，可得b，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（2）∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近的焦點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，c-a=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$
∴b=1，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程，標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．