Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

a2n

a2n-1

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：S_n≤n+

5

3

．

Answer 1

分析：（1）令n=1、2、3代入題干中的式子，可得a₂，a₃，a₄，可以看出項(xiàng)與項(xiàng)之間有一定關(guān)系，n為偶數(shù)時(shí)令n=2mn為奇數(shù)時(shí)令n=2m-1關(guān)系中的下角碼用m表示，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立可得出一個(gè)特殊的數(shù)列，數(shù)列{a_2m-1+2}是公比為2的等比數(shù)列，可求解析式．
（2）驗(yàn)證一下n=1時(shí)，不等式成立，n≥2時(shí)，先把b_n的式子分離常數(shù)，后然利用放縮法先把b_n放大，分母親變?yōu)榈缺葦?shù)列的項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求S_n．

解答：解：（1）a₂=（1+0）a₁+1=2，a₃=（1+1）a₂+0=4，a₄=（1+0）a₃+1=5，
∵a_n+1=

an+1 (n=2m-1，m∈N+)  2an(n=2m，m∈N+)

，∴

a2m+1=2a2m a2m=a2m-1+1

∴a_2m+1=2a_2m-1+2，∴a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），∴

a2m+1+2

a2m-1+2

=2
∴數(shù)列{a_2m-1+2}是公比為2的等比數(shù)列，∴a_2m-1+2=（a₁+2）2^m-1，
∴a_2m-1=-2+3•2^m-1（m∈N₊），a_2m=

1

2

a_2m+1=-1+3•2^m-1（m∈N₊），
∴a_n=

-2+3•2 n+1 2 -1 -1+3•2 n 2 -1

=

-2+3•2 n+1 2 -1(n為奇數(shù)) -1+3•2 n 2 -1  (n為偶數(shù))

=

-2+3•2 n-1 2 (n為奇數(shù)) -1+3•2 n-2 2 (n為偶數(shù))

．
（2）b_n=

-1+3•2n-1

-2+3•2n-1

=1+

1

-2+3•2n-1

=1+

1

2(-1+3•2n-2)

，
①當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁=2≤1+

5

3

，不等式成立；
②當(dāng)n≥2時(shí)，-1+3•2^n-2≥2，∴0＜

1

-1+3•2n-2

＜1，
∵0＜

1

-1+3•2n-2

＜

1+1

(-1+3•2n-2)+1

=

2

3•2n-2

∴

1

2(-1+3•2n-2)

＜

1

3•2n-2

∴b_n＜1+

1

3•2n-2

=1+

4

3•2n

∴S_n＜2+（1+

4

3•22

）+（1+

4

3•23

）+…+（1+

4

3•2n

）
=n+1+

4

3

×

1 4

1- 1 2

（1-

1

2n-1

）=n+1+

2

3

（1-

1

2n-1

）
=n+

5

3

-

4

3•2n

＜n+

5

3

由①②知：S_n≤n+

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，三角函數(shù)，數(shù)列，不等式，考查學(xué)生的邏輯推理，抽象概括，綜合運(yùn)用能力．本題當(dāng)中所求的通項(xiàng)公式，注意把項(xiàng)的角碼n轉(zhuǎn)化為m，令m可以取任意的正整數(shù)，然后代入關(guān)系，找特殊數(shù)列，利用放縮法證明不等式，伸縮性大，應(yīng)用知識(shí)多，不易把握．