解:(1)因?yàn)閒(x)=x4+bx2+cx+d,所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c.
由題設(shè),方程h(x)=0有三個(gè)互異的實(shí)根.
考察函數(shù)h(x)=x3-12x+c,則h′(x)=0,得x=±2.
所以故-16<c<16.
(2)存在c∈(-16,16),使f′(x)≥0,即x3-12x≥-c,(*)
所以x3-12x>-16,即(x-2)2(x+4)>0(*)在區(qū)間[m-2,m+2]上恒成立.
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.
所以或m-2>2,即-2<m<0,或m>4.
(3)由題設(shè),可得存在α,β∈R,使f′(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+αx+β),
且x2+αx+β≥0恒成立.
又f?(t2)=0,且在x=t2兩側(cè)同號(hào),
所以f?(x)=(x-t1)(x-t2)2.
另一方面,g′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c
=x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)[(x-t2)2-1].
因?yàn)閠1<x<t2,且t2-t1<1,所以-1<t1-t2<x-t2<0.
所以0<(x-t2)2<1,所以(x-t2)2-1<0.
而x-t1>0,所以g′(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)內(nèi)單調(diào)減.
從而g(x)在(t1,t2)內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn).
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