Question

學(xué)校舉行定點投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨立的．已知小明每次投籃投中的概率都是

1

3

；小強每次投籃投中的概率都是p（0＜p＜1）．
（1）求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；
（2）求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列和期望；
（3）小強投籃4次，投中的次數(shù)為X，若期望E（X）=1，求p和X的方差V（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）小明在投籃過程中直到第三次才投中說明小明前兩次沒有投中，第三次投中，由此能求出其概率．
（2）小明在4次投籃后總得分ξ的可能取值為0，2，4，6，8，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列和期望．
（3）由X～B（4，p），E（X）=4p=1，能求出p和X的方差V（X）．

解答： 解：（1）設(shè)“小明在投籃過程中直到第三次才投中”為事件A，
事件A說明小明前兩次沒有投中，第三次投中，
∴P（A）=（1-

1

3

）²×

1

3

=

4

27

．
∴小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率為

4

27

．
（2）小明在4次投籃后總得分ξ的可能取值為0，2，4，6，8，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）⁴=

16

81

，
P（ξ=2）=

C

1 4

(1-

1

3

)3•

1

3

=

32

81

，
P（ξ=4）=

C

2 4

(1-

1

3

)2•(

1

3

)2=

8

27

，
P（ξ=6）=

C

3 4

(1-

1

3

)(

1

3

)3=

8

81

，
P（ξ=8）=(

1

3

)4=

1

81

，
∴總得分的分布列為：

ξ	0	2	4	6	8
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

Eξ=2×

32

81

+4×

8

27

+6×

8

81

+8×

1

81

=

8

3

．
（3）∵X～B（4，p），E（X）=4p=1，
∴p=

1

4

，
∴X的方差V（X）=4p（1-p）=4×

1

4

×

3

4

=

3

4

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意二項分布的合理運用．