已知函數(shù)f(x)=ax3+4x與g(x)=bx2+cx+8的圖象都過(guò)點(diǎn)P(2,0),且在點(diǎn)P處有相同的切線.
(Ⅰ)求f(x),g(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(x),當(dāng)x∈R時(shí),求F(x)的極大值和極小值.
分析:(Ⅰ)利用f(x)的圖象過(guò)P(2,0),可求f(x)的解析式;利用f(x),g(x)在點(diǎn)P處有相同的切線,可求g(x)的解析式;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的極值.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)的圖象過(guò)P(2,0),∴f(2)=0
∴a×23+8=0,∴a=-1,∴f(x)=-x3+4x
∴f′(x)=-3x2+4,g′(x)=2bx+c
∴f′(2)=-8,g′(2)=4b+c
∵在點(diǎn)P處有相同的切線
∴4b+c=-8
∵g(2)=4b+2c+8=0
∴b=-2,c=0
∴g(x)=-2x2+8
(Ⅱ)函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)=-x3-2x2+4x+8
∴F′(x)=-3x2-4x+4=-(3x-2)(x+2)
令F′(x)>0可得-2<x<
2
3
;令F′(x)<0可得x<-2或x>
2
3

∴函數(shù)在(-∞,-2),(
2
3
,+∞)上為減函數(shù),在(-2,
2
3
)上為增函數(shù)
∴函數(shù)在x=-2處,取得極小值為F(-2)=0;在x=
2
3
處,取得極大值為F(
2
3
)=9
13
27
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)函數(shù)的求法以及導(dǎo)數(shù)幾何意義,考查函數(shù)的極值,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案