Question

已知函數(shù)f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調(diào)性；

(Ⅲ）若對任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有成立，求實數(shù)m的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極大值為，無極小值；（Ⅱ）①當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；②當時，在上是增函數(shù)；③當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) ； (Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，求的極值，首先確定函數(shù)的定義域為，對函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調(diào)性，首先對函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，并分解得，再進行分類討論，利用，確定函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]，恒有成立，只要求出的最大值即可，因此確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得的最大值與最小值，從而得，進而利用分離參數(shù)法，可得，從而可求實數(shù)的取值范圍

試題解析：（Ⅰ）當時，     2分

由,解得 ，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)     4分

∴的極大值為，無極小值                    5分

（Ⅱ），

①當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；   7分

②當時，在上是增函數(shù)；                       8分

③當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)  9分

(Ⅲ）當時，由（2）可知在上是增函數(shù)，

∴                10分

由對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，

∴                         11分

即對任意恒成立，

即對任意恒成立，                          12分

由于當時，，∴             14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點取得極值的條件