橢圓C：數(shù)學(xué)公式的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為數(shù)學(xué)公式．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明數(shù)學(xué)公式為定值，并求這個(gè)定值．

（Ⅰ）解：依題意得…（3分）
解得，故橢圓C的方程為． …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意可設(shè)直線l的方程為x=ky+4…（6分）
由，消去x可得（4k2+5）y2+32ky+44=0
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），Q（0，y3），則…（8分）
又由直線l的方程x=ky+4知
由三角形的相似比得
注意到y(tǒng)1y2＞0，
∴|y1|+|y2|=|y1+y2|
∴
故為定值． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為，建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，可得一元二次方程，利用韋達(dá)定理，及三角形的相似比，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，正確表示比值是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為
3
2
，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF1F2的周長為4+2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記
MQ
=λ
QN
，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得
MR
=-λ
RN
，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè)

   （Ⅰ）證明：；

   （Ⅱ）若的周長為6；寫出橢圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年浙江省嘉興市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)．
（I）如圖①，點(diǎn)M為橢圓C上的一點(diǎn)，N是MF1的中點(diǎn)，且NF2丄MF1，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；
（II）如圖②，直線l：：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點(diǎn)，若在橢圓C上存在點(diǎn)R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷解析版） 題型：選擇題

設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，⊥，

∠=，則C的離心率為（    ）

A．             B．               C．               D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆云南省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)滿足  

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）若已知點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且，

求橢圓C的方程。

 

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