Question

某研究性學習小組研究函數f（x）=ax³+bx（a≠0，a，b為常數）的 性質：
（Ⅰ）甲同學得到如下表所示的部分自變量x及其對應函數值y的近似值（精確到0.01）：

x	-1	-0.72	-0.44	-0.16	0.12	0.4
y的近似值	4.00	1.15	0.02	-0.14	0.11	0.08

請你根據上述表格中的數據回答下列問題：
（i）函數f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內是否存在零點，寫出你的判斷并加以證明；
（ii）證明：函數f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調遞減；
（Ⅱ）乙同學發(fā)現(xiàn)對于函數f（x）圖象上的兩點A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰為直線AB的斜率，請你判斷乙同學的結論是否正確？若正確，請給出證明并確定m的個數，若不正確，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）（i）因為f（-x）+f（x）=a（-x）³+b（-x）+（ax³+bx）=0對任意的實數x恒成立，
所以函數f（x）為奇函數，
因此由f（0.44）=-f（-0.44）≈-0.02，得f（0.44）＜0，
又由f（0.4）≈0.08，得f（0.4）＞0，
∴函數f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內存在零點；
（ii）因為f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內有零點，
所以方程ax³+bx=ax（x²+）=0在區(qū)間（0.4，0.44）內有解，
得0.4＜＜0.44，
所以-0.1936．
注意x＜-0.3，所以有3x²＞0.27，得3x²+＞0．
由f（-1）=-a-b，f（0.4）=0.064a+0.4b，
得-0.84a=f（1）+2.5f（0.4）≈4.2，所以a＜0．
綜上，f′（x）=3ax²+b=a（x²+）＜0對任意的x∈（-∞，-0.3）恒成立，
所以函數f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調遞減；
（Ⅱ）因為點A（-1，4）在函數f（x）圖象上，
所以f（-1）=-a-b=4，所以f（x）=ax³-（a+4）x．
所以由f′（m）=3am²-a-4，得3am²-a-4=．
又a≠0，化簡得m²=，即m₁=-，m₂=，
所以乙同學的判斷是正確的．
且由±=t（-1＜t＜2），得t=0.5，所以
（1）當-1＜t≤0.5時，m₁∈（-1，t），m₂≥t，滿足條件的m存在，且只有一個；
（2）當0.5＜t＜2時，m₁，m₂∈（-1，t），滿足條件的m存在，且有兩個．
分析：（Ⅰ）（i）根據函數f（x）=ax³+bx，判定函數的奇偶性，根據表格求出f（0.44）和f（0.4）的符號，根據函數零點判定定理即可求得結論；
（ii）根據（i），求出其零點的范圍，即可求出的范圍，求導，分析導函數的符號，即可證明結論；
（Ⅱ）把點A（-1，4）代入函數的表達式，即可求得-a-b=4，根據直線的斜率公式求得直線AB的斜率，求導，求得f'（m），解此方程即可求得結論．
點評：此題是個中檔題．本題考查函數導數等基礎知識，考查抽象概括能力，和運算求解能力，推理論證能力，數據處理能力；考查函數與方程思想，數形結合思想和化歸與轉化思想，特殊與一般思想．