Question

已知AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證MN∥平面β．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：(1)若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABCD與α、β的交線為AC、BD． 　　∵α∥β，∴AC∥BD． 　　又M、N為AB、CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD． 　　又BD平面β，∴MN∥平面β 　　(2)若AB、CD不共面，如圖，過A作AQ∥CD交平面β于Q，取AQ中點(diǎn)P，連MP、PN、BQ、QD． 　　∵AQ∥CD，∴AQ、CD確定一個(gè)平面γ， 　　且γ∩α＝AC，γ∩β＝QD． 　　又α∥β，∴AC∥QD． 　　又P、N為AQ、CD中點(diǎn)，∴PN∥QD． 　　又M、P為AB、AQ中點(diǎn)，∴MP∥BQ． 　　∴平面MPN∥平面β，又MN平面MPN． 　　∴MN∥平面β． 　　證法2：(1)若AB、CD在同一平面內(nèi)，與證法1相同． 　　(2)若AB、CD不共面，如圖． 　　過M作直線EF∥CD，交α、β于E、F 　　∵AB∩EF＝M，∴AB、EF確定一個(gè)平面γ． 　　平面γ∩α＝AE，平面γ∩β＝BF． 　　∴AE∥BF． 　　又M為AB中點(diǎn)，∴M為EF的中點(diǎn)． 　　又EF∥CD，EF、CD確定平面與α、β的交線為EC、FD． 　　∴EFDC為平行四邊形． 　　又M、N分別為EF、CD的中點(diǎn)， 　　∴MN∥FD． 　　又FD平面β，∴MN∥平面β．

提示：

分析：要證線面平行，可先證線線平行或面面平行． 　　解題心得：本題證明過程體現(xiàn)了證線面平行的兩種基本方法，解題要防止把AB、CD看成同一平面內(nèi)的線段而直接用平面幾何知識證明的錯(cuò)誤．