Question

已知函數(shù)定義域為，設(shè).

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（2）求證：；

（3）求證：對于任意的，總存在，滿足，并確定這樣的的個數(shù).

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先通過對求導(dǎo)易得在，上遞增，在上遞減，從而要使在上為單調(diào)函數(shù)，須滿足；（2）根據(jù)（1）中得到的的單調(diào)性可知，，從而問題等價于證明，而，顯然成立，從而得證；（3）根據(jù)（1）可知，方程等價于，考慮構(gòu)造函數(shù)，從而問題等價于證明方程在上有解，并討論解的個數(shù)，這是一個關(guān)于的一元二次方程，考慮端點值，，從而需對的取值分類討論，對其端點值的正負(fù)性分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求證.

試題解析：（1）∵，

由或，由，

∴在，上遞增，在上遞減，

又∵在上為單調(diào)函數(shù)，則；

（2）∵在，上遞增，在上遞減，∴在處取得極小值，

又∵，而在上的最小值為為，

從而當(dāng)時，，即；

（3）∵，∴，即為，

令，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程在上有解，并討論解的個數(shù)，……….7分，

∵，，

∴①當(dāng)或時，∴在上有解，且只有一解，

②當(dāng)時，且，又∵，

∴在上有解，且有兩解，

③當(dāng)時，或，∴在上有且只有一解，

當(dāng)時，或，

∴在上也只有一解，

綜上所述，對任意的，總存在，滿足，

且當(dāng)或時，有唯一的符合題意.

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.根的存在性與根的個數(shù)判斷.