Question

已知函數(shù)f(x)=

x-a

x-2

（1）若a∈N^*，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)，求a的值；
（2）若a∈R，且關(guān)于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)，求a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若對(duì)于區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞m-x^-3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)變形，利用函數(shù)在（2，+∞）上遞減，可得2-a＞0，借助于a∈N^*，可確定a的值；
（2）利用零點(diǎn)存在定理，可得不等式（a-2）（a-6）＜0，從而可確定a的取值范圍；
（3）不等式f（x）＞m-x^-3，對(duì)3≤x≤4恒成立，等價(jià)于F（x）=1+

1

x-2

+x^-3＞m對(duì)3≤x≤4恒成立，只需要求出F（x）的最小值，就可以得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

x-a

x-2

=1+

2-a

x-2

，由于函數(shù)在（2，+∞）上遞減，所以2-a＞0，即a＜2，又a∈N^*，所以a=1；a=1時(shí)，f(x)=1+

1

x-2

---------------（4分）
（2）令F（x）=f（x）+x=

x-a

x-2

+x=x+1+

2-a

x-2

，F(-2)=-1+

2-a

-4

=

6-a

-4

，F(-1)=

2-a

-3

當(dāng)F(-2)•F(-1)=

6-a

-4

•

2-a

-3

＜0時(shí)，即（a-2）（a-6）＜0，
∴2＜a＜6時(shí)關(guān)于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)．（若用根與系數(shù)的關(guān)系求解，參照給分）    （9分）
（3）由（1）a=1時(shí)，f(x)=1+

1

x-2

，不等式f（x）＞m-x^-3，即F（x）=1+

1

x-2

+x^-3＞m對(duì)3≤x≤4恒成立，容易證明F（x）=1+

1

x-2

+x^-3在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)，x=4時(shí)F（x）取最小值

97

64

，所以m＜

97

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查根的分布及恒成立問題的處理，有一定的綜合性．