Question

已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓，其離心率e=，且經(jīng)過拋物線x²=4y的焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過點B（2，0）的直線l與橢圓交于不同的亮點E、F（E在B、F之間）且=λ，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的方程，利用橢圓的離心率e=，且經(jīng)過拋物線x²=4y的焦點，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設直線l方程，與橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0，可得m的一個范圍，設出E，F(xiàn)的坐標，利用向量知識及韋達定理，即可求得實數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率e=，且經(jīng)過拋物線x²=4y的焦點
∴
∴a²=2
∴橢圓的標準方程為；
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，
設l方程為x=my+2（m≠0）①，代入，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則
∵=λ，（x₁-2，y₁）=λ（x₂-2，y₂），
∴y₁=λy₂，
∵，
∴=
∵m²＞2，∴4＜＜8
∴4＜＜8
∵λ＞0
∴且λ≠1．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的標準方程，考查韋達定理的運用．應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化是解題的關鍵．