【題目】定義：若數(shù)列滿足，存在實數(shù)，對任意，都有，則稱數(shù)列有上界，是數(shù)列的一個上界，已知定理：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂（即極限存在）.

（1）數(shù)列是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請說明理由；

（2）若非負(fù)數(shù)列滿足，（），求證：1是非負(fù)數(shù)列的一個上界，且數(shù)列的極限存在，并求其極限；

（3）若正項遞增數(shù)列無上界，證明：存在，當(dāng)時，恒有.

【答案】（1）存在，1；（2）見解析，極限1；（3）見解析.

【解析】

（1）確定，得到上界的最小值.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明數(shù)列單調(diào)遞增，得到極限存在，最后計算極限.

（3）假設(shè)結(jié)論不成立，取，，推出矛盾，得到證明.

（1）易知：，

數(shù)列存在上界，上界中的最小值為1

（2）非負(fù)數(shù)列，先證明

當(dāng)時：成立.

假設(shè)當(dāng)時成立，即

當(dāng)時：

即也成立

所以恒成立，1是非負(fù)數(shù)列的一個上界，得證.

數(shù)列單調(diào)遞增

故數(shù)列的極限存在

設(shè)

（3）證明：假設(shè)，當(dāng)時，恒有.

取滿足正項遞增數(shù)列無上界.

取，當(dāng)時，

這與題設(shè)矛盾

假設(shè)不成立

故存在，當(dāng)時，恒有.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】下列判斷正確的是（ ）

A.“”是“”的充分不必要條件

B.函數(shù)的最小值為2

C.當(dāng)時，命題“若，則”為真命題

D.命題“，”的否定是“，”

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（1）與BC平行的平面PDE交AC于點E，判斷點E在AC上的位置并說明理由如下：

（2）若PA=PB，且△PCD為銳角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求證：AB⊥PC．

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（2）設(shè)動直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

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【題目】已知是偶函數(shù)，.

（1）求的值，并判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，說明理由；

（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖像有且僅有一個交點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）定義在上的一個函數(shù)，如果存在一個常數(shù)，使得式子對一切大于1的自然數(shù)都成立，則稱函數(shù)為“上的函數(shù)”（其中，）.試判斷函數(shù)是否為“上的函數(shù)”，若是，則求出的最小值；若不是，則說明理由.（注：）.

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【題目】某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：

（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求該地上班族的人均通勤時間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實際意義．

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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，該橢圓與y軸正半軸交于點M，且△MF1F2是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點F2任作一直線交橢圓于A，B兩點，平面上有一動點P，設(shè)直線PA，PF2，PB的斜率分別為k1，k，k2，且滿足k1+k2=2k，求動點P的軌跡方程.

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【題目】如圖，某公園有三條觀光大道、、圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊.

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（2）現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在點、、，設(shè)，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且，請將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，若圓的一條切線（斜率存在）與橢圓C有兩個交點A，B，且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）已知橢圓C的上頂點為M，點N在圓O上，直線MN與橢圓C相交于另一點Q，且，求直線MN的方程.

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