Question

【題目】已知點是拋物線：上一點，且到的焦點的距離為．

（1）若直線與交于，兩點，為坐標原點，證明：；

（2）若是上一動點，點不在直線：上，過作直線垂直于軸且交于點，過作的垂線，垂足為．試判斷與中是否有一個為定值？若是，請指出哪一個為定值，并加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）依題意得，列出方程組，求得，即可得到的方程，把直線方程與曲線的方程聯(lián)立，求得，，結(jié)合向量的運算，即可證得；

（2）由（1）知，，故的方程為，設(shè)，則的橫坐標為，求出，由題意知：，與聯(lián)立可得，求出，則不是定值，為定值．

詳解：（1）依題意得∴，

∵，∴，故的方程為．

由得，

設(shè)，，則，，

∴，∴．

（2）由（1）知，，故的方程為，

設(shè)（且），則的橫坐標為，易知在上，則．

由題可知：，與聯(lián)立可得，

所以，

則不是定值，為定值．