Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-2}$（a^x-a^-x）（其中a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先證明函數(shù)g（x）=a^x-a^-x的增減性，然后得到函數(shù)f（x），由函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)可得：當(dāng)a＞1時，$\frac{a}{{a}^{2}-2}$＞0；當(dāng)0＜a＜1時，$\frac{a}{{a}^{2}-2}$＜0．由此求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-2}$（a^x-a^-x）（其中a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，設(shè)g（x）=a^x-a^-x ，則由題意可得a＞0，且a≠1．
則 g（x₁）-g（x₂）=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$）=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}{•a}^{{x}_{2}}}$），
當(dāng)a＞1時，由x₁＜x₂，得 ${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，g（x₁）-g（x₂）＞0，則函數(shù)g（x）=a^x-a^-x為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，由x₁＜x₂，得${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，g（x₁）-g（x₂）＜0，則函數(shù)g（x）=a^x-a^-x為減函數(shù)．
①當(dāng)a＞1時，要使此函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則 $\frac{a}{{a}^{2}-2}$＞0，解得 a＞$\sqrt{2}$．
②當(dāng)0＜a＜1時，$\frac{a}{{a}^{2}-2}$＜0，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x）為增函數(shù)．
綜上可得，a的范圍為a＞$\sqrt{2}$ 或0＜a＜1．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．