Question

四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2

2

，SB=SC=AB=2，F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn)．
（1）求證：SD∥平面CFA；
（2）求面SCD與面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)EF，由已知條件推導(dǎo)出EF∥SD，由此能夠證明SD∥平面CFA．
（2）以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OC，OS為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出面SCD與面SAB所成二面角的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)EF，
∵底面ABCD為平行四邊形，∴E為BD的中點(diǎn)．
在△BSD中，F(xiàn)為SB的中點(diǎn)，∴EF∥SD，
又∵EF?面CFA，SD?面CFA，
∴SD∥平面CFA．
（2）解：以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以O(shè)A，OC，OS為x，y，z軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系．
則有A(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)，S(0，0，

2

)，C(0，

2

，0)，
∴

SA

=(

2

，0，-

2

)，

SB

=(0，-

2

，-

2

)，

CS

=(0，-

2

，

2

)，

CD

=

BA

=(

2

，

2

，0)，（7分）
設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為

n1

=(x，y，z)
由

n1 • SA =0 n1 • SB =0

得

2 x- 2 z=0 - 2 y- 2 z=0

，
令z=1得：x=1，y=-1∴

n1

=(1，-1，1)
同理設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為

n2

=(a，b，c)
由

n2 • CD =0 n2 • CS =0

，得

2 a+ 2 b=0 - 2 b+ 2 c=0

，
令b=1得：a=-1，c=1，∴

n2

=(-1，1，1)
設(shè)面SCD與面SAB所成二面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

3

，
∴面SCD與面SAB所成二面角的平面角的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．