Question

19、定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足條件：①對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b）；②x＞0時(shí)，f（x）＞1．那么，
（1）試舉出滿足上述條件的一個(gè)具體函數(shù)；
（2）求f（0）的值；
（3）比較f（1）和f（3）的大小并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件中所給的函數(shù)的性質(zhì)知此函數(shù)應(yīng)該是一個(gè)遞增的指數(shù)函數(shù)，此類函數(shù)易找出；
（2）令a＞0，b=0，代入f（a+b）=f（a）•f（b），結(jié)合性質(zhì)②求出f（0）的值，
（3）比較f（1）和f（3）的大小可由f（a+b）=f（a）•f（b），及性質(zhì)②說(shuō)明理由．

解答：解：（1）由題意知函數(shù)的性質(zhì)與遞增的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)相同，
故可令f（x）=2^x（或f（x）=a^x（a＞1））；（4分）
（2）令a＞0，b=0，則f（a）=f（a）•f（0），而f（a）＞0，
∴f（0）=1；（4分）
（3）∵f（3）=f（1）+f（2），
∴f（3）-f（1）=f（2）＞0，
∴f（1）＜f（3）（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，由兩個(gè)性質(zhì)對(duì)三個(gè)小題作出正確判斷．