Question

如圖，港口A在港口O的正東120海里處，小島B在港口O的北偏東60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30°的OD方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O．一艘給養(yǎng)快艇從港口A以60海里/小時(shí)的速度駛向小島B，在B島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科考船．已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給裝船時(shí)間為1小時(shí)．
（1）求給養(yǎng)快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間；
（2）給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過多少時(shí)間能和科考船相遇？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）給養(yǎng)快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間，已知其速度，則只要求得AB的路程，再利用路程公式即可求得所需的時(shí)間．
（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口A駛離2小時(shí)后，從小島B出發(fā)與科考船匯合，根據(jù)題意確定各邊長(zhǎng)和各角的值，然后由余弦定理解決問題．

解答： 解：（1）由題意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°．
于是AB=60，而快艇的速度為60海里/小時(shí)，
所以快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間為1小時(shí)． …（5分）
（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口A駛離2小時(shí)后，從小島B出發(fā)與科考船匯合．
為使航行的時(shí)間最少，快艇從小島B駛離后必須按直線方向航行，
設(shè)t小時(shí)后恰與科考船在C處相遇．…（7分）
在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以OB=60

3

，
而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t），∠BOC=30°，…（9分）
由余弦定理，得BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC，
即(60t)2=(60

3

)2+[20(2+t)]2-2×60

3

×20(2+t)×

3

2

，
亦即8t²+5t-13=0，解得t=1或t=-

13

8

（舍去）．…（12分）
故t+2=3．即給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．余弦定理在解實(shí)際問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，一定要熟練的掌握．