Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）設(shè)h（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲線y=h（x）在點(diǎn)（1，﹣2）處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣mx，求函數(shù)g（x）的極值；
（3）若存在x0＞1，當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，恒有f（x）＞ 成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜0時(shí)，h（x）=f（﹣x）+2x，h（x）是偶函數(shù)，

故h（x）=lnx﹣2x，（x＞0），

h′（x）= ﹣2，故h′（1）=﹣1，

故切線方程是：y+2=﹣（x﹣1），

即x+y+1=0

（2）解：g（x）=lnx﹣mx，（x＞0），

g′（x）= ﹣m，

m≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，函數(shù)無極值，

m＞0時(shí)，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令g′（x）＜0，解得：x＞ ，

故g（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

故g（x）的最大值是g（ ）=﹣lnm﹣1；無極小值

（3）證明：設(shè)g（x）=f（x）﹣ x2﹣（k﹣1）x+k﹣ ，x∈（1，+∞），

則g′（x）= ，

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，

即當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x﹣1；

①當(dāng)k=1時(shí)，由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x﹣1，

此時(shí)不存在x0＞1，不滿足題意；

②當(dāng)k＞1時(shí)，x＞1，f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），

此時(shí)不存在x0＞1，不滿足題意；

③當(dāng)k＜1時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x＞1，

則h′（x）= ，

令h′（x）=0，即﹣x2+（1﹣k）x+1=0，

得x1= ＜0，x2= ＞1，

所以當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x2）上單調(diào)遞增，

取x0=x2，所以當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x﹣1），

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，1）

【解析】（1）求出h（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算h′（1）的值，求出切線方程即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（3）通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意求出k的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．