Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1與A1C相交于點(diǎn)D．

（1）求證：BD⊥A1C；
（2）若E在棱BC1上，且滿足DE∥面ABC，求三棱錐E﹣ACC1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：側(cè)面AA1C1C是菱形，D是AC1的中點(diǎn)，∵BA=BC1，∴BD⊥AC1，

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且BD平面ABC1，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，

∴BD⊥平面AA1C1C，則BD⊥A1C

（2）解：∵DE∥面ABC，DE面ABC1，面ABC1∩面ABC=AB，∴DE∥AB，

∵點(diǎn)D為AC1的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為BC1的中點(diǎn)，

∵AA1=AC=2，∠AA1C1=60°，∴AC1=2，∵AB=BC1=2，

∴△ABC1為正三角形，則 ，

∴點(diǎn)E到面ACC1的距離等于 ，

∴ ．

【解析】（1）由已知，可得BD⊥AC1 ， 結(jié)合平面ABC1⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的性質(zhì)可得BD⊥A1C；（2）由題意可得△ABC1為正三角形，求得 ，再由E為BC1的中點(diǎn)求得E到平面ACC1的距離，求出△ACC1的面積，代入棱錐體積公式得答案．