Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，短半軸長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的兩焦點(diǎn)，且該圓截直線所得的弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)、，橢圓上的點(diǎn)滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知，，再由圓截直線所得的弦長(zhǎng)為，得，可求出，從而求出的值，可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后得，先使判別式大于零，求出的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后結(jié)合將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)代入橢圓方程中可出的值，從而可得直線的方程.

（1）以原點(diǎn)為圓心，短半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為.

∵ 圓過(guò)橢圓的兩焦點(diǎn)， ∴，

∵ 圓截直線所得的弦長(zhǎng)為.

∴ ，解得，

∴ .

∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為.

，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

聯(lián)立方程，得，，

∴ ，

∵ ，∴點(diǎn)，

∵ 點(diǎn)在橢圓上，∴有，

即，

∴ ，

即，解得，符合，

直線方程為.

（2）方法二：由題意知直線的斜率存在，

設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線為，

，，

則直線與軸交于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，

將直線與橢圓聯(lián)立并化簡(jiǎn)可得，

，

則，

解得，

所以，，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以滿足橢圓方程，

將，代入得，

，

化簡(jiǎn)得，

直線方程為.