Question

5．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a²-c²=ac-bc，△ABC的形狀是等邊三角形．．

Answer 1

分析 設(shè)c=1，代入已知的等式中，再消去a，得到關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，進(jìn)而確定出a的值，發(fā)現(xiàn)a，b及c的值相等，根據(jù)三邊相等的三角形為等邊三角形可得證．

解答 解：∵a、b、c成等比數(shù)列，
∴由正弦定理得 b²=ac．
不失一般性，可設(shè)c=1，
∵b²=ac=a²-c²+bc，
∴b²=a=a²+b-1，
消去a得：b²=b⁴+b-1，即（b-1）（b³+b²+1）=0，
∵b³+b²+1≠0，
∴b-1=0，即b=1，
∴a=b²=1，
∴a=b=c=1，
則△ABC為等邊三角形．…（14分）
故答案為：等邊三角形．

點(diǎn)評 此題考查了解三角形以及三角形形狀的判斷，涉及的知識有：等邊三角形的判定，正弦、余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，特值法，以及方程的思想，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．