某學(xué)科的試卷中共有12道單項(xiàng)選擇題,(每個選擇題有4個選項(xiàng),其中僅有一個選項(xiàng)是正確的,答對得5分,不答或答錯得0分).某考生每道題都給出了答案,已確定有8道題答案是正確的,而其余的題中,有兩道題每題都可判斷其兩個選項(xiàng)是錯誤的,有一道題可以判斷一個選項(xiàng)是錯誤的,還有一道題因不理解題意只能亂猜.對于這12道選擇題,試求:
(1)該考生得分為60分的概率;
(2)該考生所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
分析:(1)本題是一個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,考生要得60分,其余四道題必須全做對,根據(jù)條件中所說的關(guān)于四道題目的判斷情況,得到每個題作對的概率,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,得到結(jié)果.
(2)由題意知該考生得分ξ的取值是40,45,50,55,60,得分為40表示只做對了8道題,其余4題都做錯,得45分表示三道題目中有一道題目做對,以此類推,得到概率,分布列和期望.
解答:解:(1)由題意知本題是一個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,
考生要得60分,其余四道題必須全做對,
∴得60分的概率為P=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48

(2)由題意知該考生得分ξ的取值是40,45,50,55,60,
得分為40表示只做對了8道題,其余4題都做錯,
故求概率為P(ξ=40)=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8

同樣可求得得分為45分的概率為
P(ξ=45)=
C
1
2
×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48

得分是50分的概率為P(ξ=50)=
17
48

得分是55分的概率為P(ξ=55)=
7
48

得分是60分的概率為P(ξ=60)=
1
48

∴ξ的分布列為
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Eξ=40×
6
48
+45×
17
48
+50×
17
48
+55×
7
48
+60×
1
48
=
575
12

該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為
575
12
點(diǎn)評:本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,等可能事件的概率,考查用概率知識解決實(shí)際問題,是一個新課標(biāo)高考卷中要出的解答題目.
練習(xí)冊系列答案
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(1)該考生得分為60分的概率;

(2)該考生所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

 

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