Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，A為以原點O為圓心的單位圓O與x正半軸的交點，在圓心角為 的扇形AOB的弧AB上任取一點 P，作 PN⊥OA于N，連結(jié)PO，記∠PON=θ．
（1）設△PON的面積為y，使y取得最大值時的點P記為E，點N記為F，求此時 的值；
（2）求k=a| || |+ （a∈R，E 是在（1）條件下的點 E）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：ON=cosθ，PN=sinθ，

∴y= cosθsinθ= sin2θ，

∵0 ，

∴當 時，y取得最大值，此時E（ ， ），F(xiàn)（ ，0），

∴ = ．

（2）解： =（cosθ，sinθ）， =（ ， ），

∴ = cosθ+ sinθ= （sinθ+cosθ），

∴k=asinθcosθ+sinθ+cosθ，

令sinθ+cosθ= sin（ ）=t，則sinθcosθ= ，

∵0 ，∴ ≤ ，

∴1＜t ，

∴k=a +t= ，

令f（t）= ，

①若a=0，則f（t）=t，∴f（t）的值域為（1， ]；

②若a＞0，則f（t）的對稱軸為直線x=﹣ ＜0，

∴f（t）在（1， ]上單調(diào)遞增，

∴f（1）＜f（t）≤f（ ），即f（t）的值域為（1， + ]；

③若a＜0，則f（t）的圖象開口向下，

若﹣ ≤1，即a≤﹣1時，f（t）在（1， ]上單調(diào)遞減，

∴f（t）的值域為[ + ，1）；

若﹣ ≥ ，即﹣ ≤a＜0時，f（t）在（1， ]上單調(diào)遞增，

∴f（t）的值域為（1， + ]；

若1＜﹣ ，即﹣1 時，f（t）在（1， ]上先增后減，

∴f（t）的最大值為f（﹣ ）= ，

若1 ＜ ，即﹣1＜a＜2﹣2 時，則f（t）的最小值為f（ ）= ，

若 ≤﹣ ，即2﹣2 ≤a＜﹣ 則f（t）的最小值為f（1）=1，

綜上，當a=0時，f（t）的值域為（1， ]；

當a≤﹣1時，k的值域是[ + ，1）；

當a＞﹣ 且a≠0時，k的值域是（1， + ]；

﹣1＜a＜2﹣2 時，k的值域是[ ， ]；

當2﹣2 ≤a＜﹣ 時，k的值域是（1， ]．

【解析】（1）用θ表示出PN，ON，得出y關(guān)于θ的函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出y最大時對應的θ值，從而求出E，F(xiàn)的坐標，再計算 ；（2）設sinθ+cosθ=t，得出k關(guān)于t的函數(shù)，討論a的取值與函數(shù)單調(diào)性，得出k的值域．