已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2(數(shù)學(xué)公式2an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)bn=(An2+Bn+C)•2n,是否存在常數(shù)A、B、C,使對(duì)一切n∈N*,均有an=bn+1-bn成立?若存在,求出常數(shù)A、B、C的值,若不存在,說(shuō)明理由
(3)求證:a1+a2+…+an≤(n2-2n+2)•2n,( n∈N*

解:(1)由an+1=2(2an得:
?
?

?
將這n-1個(gè)式子相乘,得an=2n-1n2a1=2n•n2
(2)∵bn=(An2+Bn+C)•2n
∴bn+1=(A(n+1)2+B(n+1)+C)•2n+1
∴bn+1-bn=(A(n+1)2+B(n+1)+C)•2n+1-(An2+Bn+C)•2n
=(An2+(4A+B)n+2A+2B+C)•2n
若an=bn+1-bn成立,則2n•n2=(An2+(4A+B)n+2A+2B+C)•2n對(duì)一切正整數(shù)n都成立
∴An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2
?A=1,B=-4,C=6;
(3)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:
當(dāng)n=1時(shí),a1=2≤(12-2×1+2)•21:=2,式子成立
當(dāng)n≥2時(shí),設(shè)n=k時(shí)不等式成立,
即a1+a2+…+ak≤(k2-2k+2)•2k成立,則
a1+a2+…+ak+ak+1≤(k2-2k+2)•2k+2k+1•(k+1)2
而(k2-2k+2)•2k+2k+1•(k+1)2=2k+1[(k2-k+1)+(k2+2k+1)]
=2k+1k2+k+2)
并且2k+1k2+k+2)≤((k+1)2-2(k+1)+2)•2k+1,
∴a1+a2+…+ak+ak+1)≤((k+1)2-2(k+1)+2)•2k+1
即n=k+1時(shí)不等式成立,
綜上所述,可得對(duì)任意 n∈N*,a1+a2+…+an≤(n2-2n+2)•2n 總成立
分析:(1)用n=1、n=2、n=3、…,一共n-1個(gè)值代入式子:an+1=2(2an得到n-1個(gè)等式,將此n-1個(gè)等式相乘,就可以得到an=2n-1n2a1=2n•n2
(2)根據(jù)bn=(An2+Bn+C)•2n,得到bn+1=(A(n+1)2+B(n+1)+C)•2n+1,再將bn+1-bn進(jìn)行化簡(jiǎn),整理得
(An2+(4A+B)n+2A+2B+C)•2n,最后根據(jù)An2+(4A+B)n+2A+2B+C=2n恒等,采用比較系數(shù)法,可得A、B、C的值;
(3)采用數(shù)學(xué)歸納法,先驗(yàn)證n=1時(shí)不等式的等號(hào)成立,然后假設(shè)n=k(n≥2)時(shí)不等式成立,即a1+a2+…+ak≤(k2-2k+2)•2k,采用放縮的方法可以證出n=k+1時(shí),a1+a2+…+ak+ak+1)≤((k+1)2-2(k+1)+2)•2k+1也成立,因此可以得出結(jié)論對(duì)所有的正整數(shù)n,不等式都能成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的證明等知識(shí)點(diǎn),是一道難題.注意解題過(guò)程中數(shù)學(xué)歸納的一般方法和不等式放縮的技巧,以達(dá)到證明的目的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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