Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù),）．

(Ⅰ)當時，求函數(shù)在處的切線方程；

(Ⅱ)當在處取得極值時，若關(guān)于的方程在[0，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)實數(shù)的取值范圍為．

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用

（1）利用導數(shù)的幾何意義，表示切線的斜率和點的坐標，進而得到切線方程。

（2）求解導數(shù)，運用導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到極值的判定。并解決問題。

（3）當時，，

∴ f(x) 在上單調(diào)遞增，最大值為，于是問題等價于：

對任意的，不等式恒成立

運用導數(shù)來完成恒成立的證明。

解：.

(Ⅰ)當a=1時，，∴，∴切線方程為；

(Ⅱ)由已知，得且，∴，∵a>0，∴a=2．∴，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又，∴  （8分）

(Ⅲ)當時，，

∴ f(x) 在上單調(diào)遞增，最大值為，于是問題等價于：

對任意的，不等式恒成立．（10分）

記，（）

則，

當時，，∴在區(qū)間上遞減，此時，，

∴時不可能使恒成立，故必有，∵

若，可知在區(qū)間上遞增，在此區(qū)間上有g(shù)(a)>g(1)=0滿足要求；

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有，與恒成立矛盾，

所以實數(shù)的取值范圍為．（14分）