Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

2

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．若存在實(shí)數(shù)λ，使得λ≥T_n，試求出實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

（1）當(dāng)n≥2時(shí)，∵2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2
2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，
∴2an=(2n+1-2)-(2n-2)，即2an=2n．
當(dāng)n=1時(shí)，2a1=22-2，解得a₁=1，也符合上式．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n；
（2）由（1）可知：bn=

2

anan+1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．
∵Tn+1-Tn=2(1-

1

n+2

)-2(1-

1

n+1

)=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
∴T_n+1＞T_n．?dāng)?shù)列{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴{T₁}的最小值為T₁=1．
由題意，λ≥數(shù)列{T_n}的最小值=1，
∴實(shí)數(shù)λ的最小值為1．