如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明CD⊥AE；

(Ⅱ)證明PD⊥平面ABE；

(Ⅲ)求二面角A－PD－C的大�。�

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．

　　，平面．

　　而平面，．

　　(Ⅱ)證明：由，，可得．

　　是的中點(diǎn)，．

　　由(Ⅰ)知，，且，所以平面．

　　而平面，．

　　底面在底面內(nèi)的射影是，，．

　　又，綜上得平面．

　　(Ⅲ)解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．則(Ⅱ)知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．

　　因此是二面角的平面角．

　　由已知，得．設(shè)，

　　可得．

　　在中，，，

　　則．

　　在中，．

　　所以二面角的大小是．

　　解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．

　　過(guò)點(diǎn)作，垂足為，故平面．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故．因此是二面角的平面角．

　　由已知，可得，設(shè)，

　　可得．

　　，．

　　于是，．

　　在中，．

　　所以二面角的大小是．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對(duì)角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求點(diǎn)A到面EBD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設(shè)PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

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