Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q﹣BP﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．

由四邊形ABCD為正方形知DC⊥AD，又QA、AD為平面PDAQ內(nèi)

兩條相交直線，

∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD，

∴PQ2+DQ2=PD2．

由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．

又CD、QD為平面ADCB內(nèi)兩條相交直線，

∴PQ⊥平面DCQ．

再由PQ平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ

（2）

解：

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，

射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；

依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），

=（1，0，0）， =（﹣1，2，﹣1）．

設(shè) =（x，y，z）是平面的PBC法向量，則 ，即 ，

可取 =（ 0，﹣1，﹣2）．

同理求得平面PBQ的法向量 =（1，1，1）．

所以cos＜ ， ＞= = =﹣ ，故有 sin＜ ， ＞= ，

即二面角Q﹣BP﹣C的正弦值為 ．

【解析】（1）先證明CD⊥平面PDAQ，可得CD⊥PQ；再由勾股定理得逆定理證得PQ⊥QD．再利用直線和平面垂直的判定定理證得PQ⊥平面DCQ，從而證得平面PQC⊥平面DCQ．（2）如圖建立空間坐標(biāo)系，求得 和 的坐標(biāo)，再求得平面的PBC法向量 的坐標(biāo)，同理求得平面PBQ的法向量 的坐標(biāo)，求得cos＜ ， ＞= 的值，從而求得sin＜ ， ＞的值，即為所求．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．