Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）證明：(1+

1

4

)(1+

1

16

)…(1+

1

4n

)＜e1-

1

2n

（n∈N₊，e）為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f'（0）=0，從而可求a的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)a進(jìn)行討論，利用f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f'（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x²）＜x，進(jìn)而可證得結(jié)論．

解答：（1）解：f′（x）=

2x

1+x2

+a，
∵x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′（0）=0，
∴a=0
∵x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（3分）
（2）解：f′（x）=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

．…（4分）
①若a=0時(shí)，由（1）知，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；…（5分）
②若

a＜0 △≤0

，即當(dāng)a≤-1時(shí)，f'（x）≤0對(duì)x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．…（6分）
③若當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0，∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

．
再令f'（x）＜0可得x＞

-1- 1-a2

a

或x＜

-1+ 1-a2

a

．
∴f（x）在（

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

）上單調(diào)遞增，在（-∞，

-1+ 1-a2

a

），（

-1- 1-a2

a

，+∞）上單調(diào)遞減．…（9分）
（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x²）＜x
∴ln[(1+

1

4

)(1+

1

16

)…(1+

1

4n

)]=ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

2n

)＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∴(1+

1

4

)(1+

1

16

)…(1+

1

4n

)＜e1-

1

2n

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．