Question

已知函數(shù)f（x）=a-blnx（a，b∈R），其圖象在x=e處的切線方程為x-ey+e=0．函數(shù)g（x）=

k

x

（k＞0），h（x）=

f(x)

x-1

．
（Ⅰ）求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）以函數(shù)g（x）圖象上一點為圓心，2為半徑作圓C，若圓C上存在兩個不同的點到原點O的距離為1，求k的取值范圍；
（Ⅲ）求最大的正整數(shù)k，對于任意的p∈（1，+∞），存在實數(shù)m、n滿足0＜m＜n＜p，使得h（p）=h（m）=g（n）．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）x=e時，y=2，由f′（e）=

1

e

，f（e）=2可得方程組，解出即可；
（Ⅱ）問題即為圓C與以O(shè)為圓心1為半徑的圓有兩個交點，即兩圓相交．設(shè)C(x0，

k

x0

)，則1＜

x 2 0 + k2 x 2 0

＜3，即

k2＞ x 2 0 - x 4 0 k2＜9 x 2 0 - x 4 0

，只需保證該方程組有解即可；
（Ⅲ）易知g（n）＞g（p），若h（p）=g（n），則對任意p＞1，有h（p）＞g（p）．當x＞1時，h(x)＞g(x)?k＜

x(1+lnx)

x-1

，令φ(x)=

x(1+lnx)

x-1

(x＞1)，利用導數(shù)可求得φ（x）在（1，+∞）上的最小值φ（x₀）=x₀∈（3，4），從而k≤3．可證明：當k=3時，對0＜x＜1，有h（x）＜g（x）．同時，當x∈（0，+∞）時，g(x)=

3

x

∈(0，+∞)．當x∈（0，1）時，h（x）∈R；當x∈（1，+∞）時，h（x）∈（0，+∞）．結(jié)合函數(shù)的圖象可知，結(jié)論成立時k的最大值；

解答： 解：（Ⅰ） 當x=e時，y=2，f′（x）=-

b

x

，
故

a-b=2 -b e = 1 e

，解得

a=1 b=-1

．
（Ⅱ）問題即為圓C與以O(shè)為圓心1為半徑的圓有兩個交點，即兩圓相交．
設(shè)C(x0，

k

x0

)，則1＜

x 2 0 + k2 x 2 0

＜3，即

k2＞ x 2 0 - x 4 0 k2＜9 x 2 0 - x 4 0

，
∵

x

2 0

-

x

4 0

=-(

x

2 0

-

1

2

)2+

1

4

，∴

x

2 0

-

x

4 0

≤

1

4

，∴k2＞

x

2 0

-

x

4 0

必定有解；    
∵9

x

2 0

-

x

4 0

=-(

x

2 0

-

9

2

)2+

81

4

，∴9

x

2 0

-

x

4 0

≤

81

4

，
故k2＜9

x

2 0

-

x

4 0

有解，須k2＜

81

4

，又k＞0，從而0＜k＜

9

2

．   
（Ⅲ）顯然g(x)=

k

x

(k＞0)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
于是g（n）＞g（p），若h（p）=g（n），則對任意p＞1，有h（p）＞g（p）．
當x＞1時，h(x)＞g(x)?k＜

x(1+lnx)

x-1

，令φ(x)=

x(1+lnx)

x-1

(x＞1)，
則φ/(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

．令ϕ（x）=x-2-lnx（x＞1），則ϕ/(x)=

x-1

x

＞0，
故ϕ（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，又ϕ（3）=1-ln3＜0，ϕ（4）=2-ln4＞0，
因此存在唯一正實數(shù)x₀∈（3，4），使ϕ（x₀）=x₀-2-lnx₀=0．
故當x∈（1，x₀）時，φ′（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)；當x∈（x₀，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)，
因此φ（x）在（1，+∞）上有最小值φ(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

，又x₀-2-lnx₀=0，化簡得φ（x₀）=x₀∈（3，4），∴k≤3．                                              
下面證明：當k=3時，對0＜x＜1，有h（x）＜g（x）．
當0＜x＜1時，h（x）＜g（x）?3-2x+xlnx＞0．令ψ（x）=3-2x+xlnx（0＜x＜1），
則ψ′（x）=lnx-1＜0，故ψ（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
于是ψ（x）＞ψ（1）=1＞0．
同時，當x∈（0，+∞）時，g(x)=

3

x

∈(0，+∞)．
當x∈（0，1）時，h（x）∈R；當x∈（1，+∞）時，h（x）∈（0，+∞）．
結(jié)合函數(shù)的圖象可知，對任意的正數(shù)p，存在實數(shù)m、n滿足0＜m＜n＜p，使得h（p）=h（m）=g（n）．
綜上所述，正整數(shù)k的最大值為3．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、圓與圓的位置關(guān)系、導數(shù)的綜合運用，該題綜合性強，能力要求高．