Question

16．已知函數(shù)f（x）=x|x|．若對任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 討論當(dāng)m≥0時，不等式顯然不成立；當(dāng)m=-1時，恒成立；當(dāng)m＜-1時，去絕對值，由二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用單調(diào)性可得恒成立；當(dāng)-1＜m＜0時，不等式不恒成立．

解答 解：由f（m+x）+mf（x）＜0得：
（x+m）|x+m|+mx²＜0，x≥1，
當(dāng)m≥0時，即有（x+m）²+mx²＞0，在x≥1恒成立．
當(dāng)m=-1時，即有（x-1）²-x²=1-2x＜-1＜0恒成立；
當(dāng)m＜-1時，-m＞1，當(dāng)x≥-m＞1，
即有（x+m）²+mx²=（1+m）x²+2mx+m²，
由1+m＜0，對稱軸為x=$\frac{m}{1+m}$-＜1，則區(qū)間[-m，+∞）為減區(qū)間，
即有（1+m）x²+2mx+m²≤m³＜0恒成立；
當(dāng)-1＜m＜0時，由x+m＞0，可得（x+m）²+mx²＜0不恒成立．
綜上可得當(dāng)m≤-1時，對任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0恒成立．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，去絕對值和分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于難題．