Question

設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足以下條件：①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）-p，其中p是正實(shí)數(shù)；②f（2）=p-1；（2）③x＞1時(shí)，總有f（x）＜p
（1）求f(1)及f(

1

2

)的值（寫(xiě)成關(guān)于p的表達(dá)式）；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．在解答時(shí)，對(duì)于（1）只需要利用特值得方法即可獲得解答；對(duì)于（2）要利用好條件③再結(jié)合單調(diào)性的定義證明即可獲得解答．

解答：解：（1）∵f（a）+f（b）-P=f（a•b），
令a=b=1，則f（1）=P
f(1)=f(2•

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)-P=f(

1

2

)+(P-1)-P=f(

1

2

)-1
∴f(

1

2

)=P+1
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(

x2

x1

•x1)
=f(x1)-f(

x2

x1

)-f(x1)+P=P-f(

x2

x1

)
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜P∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、函數(shù)單調(diào)性以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．