Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2

2

，AD=

2

，E為CD的中點．將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求CD與平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根據翻折問題，在翻折前后在同一個平面上的位置關系及度量關系不變得到BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE且交線為AE
根據平面垂直的性質定理得到BE⊥AD，再根據直線與平面垂直的判斷定理得證．
（II）在平面ABCE內作CF⊥平面ADE交直線AE于F，連DF，根據平面垂直的性質定理得到CF⊥平面ADE，根據直線與平面所成角的定義得到∠CDF就是CD與平面ADE所成的角，通過解三角形求出CD與平面ADE所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ） 由題知：BE⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE且交線為AE
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，且DE∩BE=E
∴AD⊥平面BDE
（Ⅱ）在平面ABCE內作CF⊥平面ADE交直線AE于F，連DF，
∵平面ADE⊥平面ABCE且交線為AE
∴CF⊥平面ADE
∴∠CDF就是CD與平面ADE所成的角
由題易求CF=1，DF=5，則
tan∠CDF=

1

5

點評：求線面角的大小，一般先作出線面角．此題是利用線面角的定義作出，通過解三角形求出值．其解題過程為：簡記為“作、證、算”．解決翻折問題，一般先根據在翻折前后仍在同一個平面上的位置關系及度量關系不變得到空間圖形的已知條件．