Question

10．定義：對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），試判斷f（x）是否為定義域R上的“局部奇函數(shù)”？若是，求出滿足f（-x）=-f（x）的x的值；若不是，請說明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定義在區(qū)間[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”，則根據(jù)定義驗證條件是否成立即可；
（2）利用局部奇函數(shù)的定義，求出使方程f（-x）=-f（x）有解的實數(shù)m的取值范圍，可得答案．

解答 解：（1）f（x）為“局部奇函數(shù)”等價于關于x的方程f（-x）=-f（x）有解．
當f（x）=ax²+2x-4a（a∈R）時，
方程f（-x）=-f（x）即2a（x²-4）=0，有解x=±2，
所以f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（2）當f（x）=2^x+m時，f（-x）=-f（x）可化為2^x+2^-x+2m=0，
因為f（x）的定義域為[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．
令t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，則-2m=t+$\frac{1}{t}$
設g（t）=t+$\frac{1}{t}$，則g'（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，
當t∈（0，1）時，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，
當t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
所以t∈[$\frac{1}{2}$，2]時，g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]．
所以-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，即m∈[-$\frac{5}{4}$，-1]．

點評 本題主要考查新定義的應用，利用新定義，建立方程關系，然后利用函數(shù)性質(zhì)進行求解是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．