Question

設(shè)函數(shù)定義在上，對于任意實(shí)數(shù)，恒有

，且當(dāng)時(shí)，

（1）求證： 且當(dāng)時(shí)，

（2）求證： 在上是減函數(shù)；

（3）設(shè)集合，，且，

 求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】（Ⅰ）在證明f(0)=1及x<0,f(x)>1時(shí)，要注意利用f(m+n)=f(m)f(n)，根據(jù)題目的要求，靈活賦值求證。(II)要注意利用定義。（3）根據(jù)前兩問的結(jié)論，可知,拋物線與直線y=a沒有交點(diǎn)求實(shí)數(shù)a的范圍。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。

（1）證明：，為任意實(shí)數(shù)，

取，則有

當(dāng)時(shí)，，，……1分

當(dāng)時(shí)， ，則

取 則 

則 ……4分

（2）證明：由（1）及題設(shè)可知，在上

，

…………6分

所以在上是減函數(shù)…………9分

（3）解：在集合中

由已知條件，有

，即………11分

在集合中，有

，則拋物線與直線無交點(diǎn)

，，

即的取值范圍是…………14分