Question

已知向量

a

=（-

3

cosmx，0），向量

b

=（sinmx，0），函數(shù)f（x）=|

a

|2+

a

•

b

的最小正周期為2，其中m＞0．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求當x∈[-2，0]時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積運算及三角恒等變換可把f（x）化為Acos（ωx+φ）的形式，然后利用周期公式可得ω，從而得m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

3

cos（πx+

π

6

）+

3

2

，令2kπ-π≤πx+

π

6

≤2kπ，解得x的范圍，根據(jù)所給x的范圍可得答案；

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=(-

3

cosmx，0)，向量

b

=(sinmx，0)，
∴f(x)=3cos2(mx)-

3

sinmxcosmx=3×

1+cos2mx

2

-

3

2

sin2mx
=

3cos2mx- 3 sin2mx

2

+

3

2

=

3

(

3

2

cos2mx-

1

2

sin2mx)+

3

2

=

3

cos(2mx+

π

6

)+

3

2

，
∵T=

2π

2m

=2，∴m=

π

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

3

cos（πx+

π

6

）+

3

2

，
令2kπ-π≤πx+

π

6

≤2kπ，解得2k-

7

6

≤x≤2k-

1

6

，
當k=0，x∈[-

7

6

，-

1

6

]，滿足題意；k=1，x∈[

5

6

，

11

6

]，不滿足題意；k=-1，x∈[-

19

6

，-

13

6

]，不滿足題意；k取其它整數(shù)，也不滿足x∈[-2，0]，
∴x∈[-2，0]時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

7

6

，-

1

6

]．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、三角恒等變換，考查三角函數(shù)的周期，考查學生分析解決問題的能力．