Question

已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），且⊥．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應的邊長，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）由題意可得（2cosx+2sinx）cosx-y=0，
即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos²x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z
（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），
故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1
故可得A+=，解得A=，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bccosA，
化簡可得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
解得bc=4，故△ABC的面積S===
分析：（1）由數(shù)量積為0可得方程，由三角函數(shù)的公式化簡可得f（x），再由2kπ-≤2x+≤2kπ+，可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）結合（1）可得f（）=1+2sin（A+）=3，進而可得A=，由余弦定理可得bc=4，代入面積公式S=，計算可得答案．
點評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和余弦定理的應用，涉及向量的垂直的判斷，屬基礎題．