Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并求f（x）在[-3，3]上的最值
（3）解不等式：f（x²-x）-f（x）≥-6．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，則f（0）=0，
再令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由x＞0時，f（x）＜0知，f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為R上的遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-3，3]時，
f（x）_min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6；
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=6；
（3）∵f（x²-x）-f（x）≥-6=f（3），
∴f（x²-x）≥f（3）+f（x）=f（3+x），又f（x）為R上的遞減函數(shù)，
∴x²-x≤3+x，
解得：-1≤x≤3．
∴原不等式的解集為{x|-1≤x≤3}．
分析：（1）通過賦值，先令x=y=0?f（0）=0，再令y=-x即可證得f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，作差f（x₁）-f（x₂）判斷即可判斷f（x）的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求得f（x）在[-3，3]上的最值．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性與已知關(guān)系f（x+y）=f（x）+f（y）與f（1）=-2，即可求得不等式f（x²-x）-f（x）≥-6的解集．
點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與方程思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．