【題目】如圖1所示，在矩形中，，，為中點，將沿折起，使點到點處，且平面平面，如圖2所示.

（1）求證：：

（2）在棱上取點，使平面平面，求平面與所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）余弦值為.

【解析】

(1)在矩形中,連接交于點,則由可推出,因此有,故在翻折后的四棱錐中,有,據(jù)此推出平面,從而有;

(2)以點為原點,方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,再過點作于點,由平面平面可推出平面,即有,結合,可知平面,即,設,再結合可求出,最后再利用空間向量法求二面角的余弦值即可.

(1)在矩形中,連接交于點,

由題知,,,

所以,即,

又,所以,

所以,即,

故在翻折后的四棱錐中,有,

又,所以平面,

又平面,所以;

(2)如圖所示,以點為原點,方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,

在矩中,經計算可得,

因此,

過點作于點,

因為平面平面,平面平面,

所以平面,所以,

又由(1)知,且,

所以平面,

所以,即有,

因為點在上,設,則,

由解得,即,

設平面的一個法向量為,

,

由,

令,即,

又平面的一個法向量為,

所以,

所以平面與所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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AQI指數(shù)值

0～50

51～100

101～150

151～200

201～300

＞300

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢：

下列敘述錯誤的是

A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C. 該市10月的前半個月的空氣質量越來越好

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(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學生數(shù)學成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);

(2)該校高一年級共有1000名學生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學生數(shù)學成績達到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).

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（1）；

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（4）,

正確說法的個數(shù)為（ ）

A.0B.1C.2D.3

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