Question

2．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數(shù)，α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，下列不等式正確的是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＞f（sinβ）

Answer 1

分析 由定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x）得函數(shù)的周期為2，然后利用函數(shù)的周期和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，即可判斷得到答案．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期T=2，
∵f（x）在[-3，-2]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，
∵f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相反，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∵在銳角三角形中，則π-α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴α+β＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∵f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．屬于中檔題．