Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，向量$\overrightarrow{OP}$=（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（m，$\frac{{S}_{m}}{m}$），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（k，$\frac{{S}_{k}}{k}$）（n，m，k∈N^*），且$\overrightarrow{OP}$=$λ•\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$μ•\overrightarrow{O{P}_{2}}$，則用n，m，k表示μ=$\frac{n-m}{k-m}$．

Answer 1

分析 可設數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，從而可以得出$\frac{{S}_{n}}{n}={a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$，從而得出{$\frac{{S}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，從而便有三點P，P₁，P₂共線，從而有$\overrightarrow{{P}_{1}P}=k\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$，可以用$\overrightarrow{O{P}_{1}}，\overrightarrow{O{P}_{2}}$表示出向量$\overrightarrow{OP}$，進而可得到μ=k，可求出向量$\overrightarrow{{P}_{1}P}，\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的坐標，帶入$\overrightarrow{{P}_{1}P}=μ\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$便可求出μ．

解答 解：設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則：
$\frac{{S}_{n}}{n}={a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$；
∴數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$為等差數(shù)列；
∴P，P₁，P₂都在直線y=${a}_{1}+\frac{x-1}{2}d$上；
即P，P₁，P₂三點共線；
∴存在實數(shù)k，使$\overrightarrow{{P}_{1}P}=k\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$；
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{P}_{1}}+k（\overrightarrow{O{P}_{2}}-\overrightarrow{O{P}_{1}}）$=$（1-k）\overrightarrow{O{P}_{1}}+k\overrightarrow{O{P}_{2}}$；
∴μ=k；
又$\overrightarrow{{P}_{1}P}=（n-m，\fracnt799zl{2}（n-m））$，$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}=（k-m，\fracd1dxdpr{2}（k-m））$；
∴n-m=μ（k-m）；
∴$μ=\frac{n-m}{k-m}$．
故答案為：$\frac{n-m}{k-m}$．

點評 考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，對于等差數(shù)列a_n=a₁+（n-1）d，知道點（n，a_n）在直線y=a₁+（x-1）d上，共線向量基本定理和平面向量基本定理，以及向量坐標的減法運算和數(shù)乘運算．