Question

如圖,直二面角D—AB—E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.

(1)求證:AE⊥平面BCE;

(2)求二面角B—AC—E的大小;

(3)求點D到平面ACE的距離.

Answer 1

(1)證明:∵BF⊥平面ACE,

∴BF⊥AE.

∵二面角D—AB—E為直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE.

∴CB⊥AE.

∴AE⊥平面BCE.

(2)解:連結(jié)BD交AC于點G,連結(jié)FG.

∵正方形ABCD的邊長為2,

∴BG⊥AC,BG=.

∵BF⊥平面ACE,

    由三垂線定理的逆定理,得FG⊥AC.

∴∠BGF是二面角B—AC—E的平面角.

    由(1)AE⊥平面BCE,

∴AE⊥EB.

    又∵AE=EB,∴在等腰Rt△AEB中,BE=.

    又∵Rt△BCE中,

EC=,

BF=,∴Rt△BFG中,

sin∠BGF=.

∴二面角B—AC—E等于arcsin.

(3)解:過E作EO⊥AB交AB于點O,OE=1.

∵二面角D—AB—E為直二面角,

∴EO⊥平面ABCD.

    設(shè)D到平面ACE的距離為h,

∵V_D—ACE=V_E—ACD,

∴S_△ACE·h=S_△ACD·EO.

∵AE⊥平面BCE,

∴AE⊥EC.

∴h=

∴點D到平面ACE的距離為.