Question

如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而把點(diǎn)M代入橢圓方程求得a和b的另一個(gè)關(guān)系式，然后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）依題意可表示出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得m的取值范圍．
（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，問題轉(zhuǎn)化為證明k₁+k₂=0．設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出兩斜率，根據(jù)（2）中的方程式，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而代入到k₁+k₂，化簡(jiǎn)整理求得結(jié)果為0，原式得證．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為
則，解得
∴橢圓方程
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又
∴l(xiāng)的方程為：
由，∴x²+2mx+2m²-4=0
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}
（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設(shè)
由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
而=
=
=
=
∴k₁+k₂=0
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等．綜合考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系以及轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用．