Question

（05年天津卷理）（14分）

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）證明其中為k為整數(shù)

（Ⅱ）設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明

（Ⅲ）設(shè)在（0,+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為，證明：

Answer 1

解析：證明：（I）由于函數(shù)定義，對(duì)任意整數(shù)，有

（II）函數(shù)在R上可導(dǎo)，  ①

令，得：

若，則，這與矛盾，所以。

當(dāng)時(shí)，  ②

由于函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，有解。

當(dāng)時(shí)，

（II）證明：由函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象知，對(duì)于任意整數(shù)，在開區(qū)間（，）內(nèi)方程只有一個(gè)根，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

而在區(qū)間（，）內(nèi)，要么恒正，要么恒負(fù)

因此時(shí)的符號(hào)與時(shí)的符號(hào)相反

綜合以上，得：的每一個(gè)根都是的極值點(diǎn) ③

由得，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)于時(shí)， ④

綜合 ③、④ ：對(duì)于任意 ，

由：和，得：  ⑤

又：，

但時(shí)， ⑥

綜合 ⑤、⑥ 得：