Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，.

（Ⅰ）時(shí)，證明：；

（Ⅱ），若，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)的分析，得到的最小值，從而得到，判斷得出在內(nèi)單調(diào)遞增，從而求出最小值；第二問(wèn)，構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，需構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，可得在單調(diào)遞減，然后對(duì)、、進(jìn)行討論，證明的最大值小于等于0即可.

試題解析：（Ⅰ）令p(x)＝f(x)＝ex－x－1，p(x)＝ex－1，

在(－1，0)內(nèi)，p(x)＜0，p(x)單減；在(0，＋∞)內(nèi)，p(x) ＞0，p(x)單增．

所以p(x)的最小值為p(0)＝0，即f(x)≥0，

所以f(x)在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，即f(x)＞f(－1)＞0． 4分

（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，則h(x)＝－e－x－a，

令q(x)＝－e－x－a，q(x)＝－．

由（Ⅰ）得q(x)＜0，則q(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減． 6分

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，q(0)＝h(0)＝0且h(0)＝0．

在(－1，0)上h(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，

所以h(x)的最大值為h(0)，即h(x)≤0恒成立． 7分

（2）當(dāng)a＞1時(shí)，h(0)＜0，

x∈(－1，0)時(shí)，h(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．

即x∈(，0)時(shí)h(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，

又h(0)＝0，所以此時(shí)h(x)＞0，與h(x)≤0恒成立矛盾． 9分

（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h(0)＞0，

x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．

即x∈(0， )時(shí)h(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，

又h(0)＝0，所以此時(shí)h(x)＞0，與h(x)≤0恒成立矛盾． 11分

綜上，a的取值為1． 12分