Question

在等式cos2x＝2cos²x－1(x∈R)的兩邊求導(dǎo)，得：，由求導(dǎo)法則，得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，化簡(jiǎn)得等式：sin2x＝2cosx·sinx．

(1)利用上題的想法(或其他方法)，結(jié)合等式(x∈R，正整數(shù)n≥2)，證明：．

(2)對(duì)于正整數(shù)n≥3，求證：

(i)；

(ii)；

(iii)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得 　　 　　移項(xiàng)得　　(*) 　　(2)(i)在(*)式中，令，整理得 　　所以 　　(ii)由(1)知 　　兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 　　在上式中，令 　　 　　即， 　　亦即　　(1) 　　又由(i)知　　(2) 　　由(1)＋(2)得 　　(iii)將等式兩邊在上對(duì)積分 　　由微積分基本定理，得 　　所以