Question

（2012•河北模擬）已知函數f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a，其中a∈R，且a≠0．
（I）若函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試求△OAB的面積S的最大值；
（II）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩正根，且q＜

1

a

，證明：當x∈（0，P）時，f（x）＜P-a．

Answer 1

分析：（I）依題意，f（x）=g（x），函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，則△＞0，求出a的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出AB以及點O到直線g（x）=x-a的距離，從而求出三角形的面積關于a的函數，根據a的范圍求出面積的最值；
（II）由f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），以及g（x）=x-a，表示出f（x），代入f（x）-（p-a）中，因式分解后，判定其積小于0，從而得到f（x）小于p-a，得證．

解答：解：（I）依題意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x-a，
整理，得ax²+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函數f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜

1

3

且a≠0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，由①得，x₁•x₂=1＞0，x₁+x₂=-

a-1

a

．
設點O到直線g（x）=x-a的距離為d，則d=

|-a|

2

，
∴S_△OAB=

1

2

-3a2-2a+1

=

1

2

-3(a+ 1 3 )2+ 4 3

．
∵∴-1＜a＜

1

3

且a≠0，∴當a=-

1

3

時，S_△OAB有最大值

3

3

；
（II）證明：由題意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）
∴f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
當x∈（0，p）時，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a．

點評：本題考查了三角形面積的計算，以及利用二次函數研究函數的最值，考查不等式的證明．根據題意設出f（x）-g（x）是解本題的關鍵，證明不等式的方法是靈活運用“作差法”，屬于中檔題．