Question

對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，同時(shí)滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，求出n﹣m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數(shù)為例）

Answer 1

解：（1）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
故函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則
故m、n是方程的同號的相異實(shí)數(shù)根．
∵x²﹣3x+5=0無實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．
（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，
則
故m、n是方程，
即a²x﹣（a²+a）x+1=0的同號的相異實(shí)數(shù)根．
∵，
∴m，n同號，只須△=a²（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3時(shí)，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m，n]，
∵，
∴當(dāng)a=3時(shí)，n﹣m取最大值
（3）如：y=﹣x+2和諧區(qū)間為、[0，2，]，[﹣1，3，]，當(dāng)a+b=2的區(qū)間[a，b]；
和諧區(qū)間為[0，，1]，和諧區(qū)間為[﹣1，0，]